Un poco de historia:
La palabra “geometría” proviene del griego geometrein (geo, “tierra” y metrein, “medir”); la geometría era originalmente el arte de medir la tierra. El historiador griego Heródoto (siglo V a. C.) atribuye a los agrimensores egipcios el origen de la geometría. Encontraron la fórmula correcta para el volumen de una pirámide cuadrada truncada,un logro notable y, por supuesto, los egipcios construyeron (alrededor del 2500 a. C.) esas magníficas pirámides, su mayor logro. Pero, en esencia, la geometría egipcia era una colección diversa de reglas de cálculo, algunas correctas, otras no, sin justificación alguna.
Las matemáticas babilónicas eran más avanzadas que las egipcias. Las tablillas de arcilla que se conservan, de las que los historiadores aprendieron sobre sus matemáticas, datan principalmente de dos épocas: la primera, alrededor del año 2000 a. C., y la segunda, del 600 a. C. en adelante, durante unos 900 años. Podían resolver algunas ecuaciones cuadráticas y cúbicas. La geometría desempeñaba un papel menor para ellos. Algunos de sus cálculos de áreas y volúmenes eran correctos, otros no. Conocían el teorema de Pitágoras al menos mil años antes del nacimiento de Pitágoras, y hallaron numerosas ternas pitagóricas.
Las matemáticas en estas dos civilizaciones antiguas evolucionaron de forma intuitiva y experimental. Se desarrollaron principalmente para resolver problemas prácticos y se referían al mundo físico. Fueron los griegos, comenzando con el legendario Tales de Mileto en el siglo VI a. C., quienes insistieron en que los enunciados geométricos se establecieran mediante un razonamiento deductivo cuidadoso, en lugar de ensayo y error. Además, dichos enunciados no se referían a objetos físicos. Se referían a idealizaciones como un segmento de línea con longitud pero sin anchura. El desarrollo ordenado de teoremas con demostraciones sobre entidades abstractas se convirtió en característico de las matemáticas griegas y fue completamente nuevo.
La hermosa ciudad de Alejandría fue fundada en el año 331 a. C., en la confluencia del río Nilo con el mar Mediterráneo, por el conquistador Alejandro Magno. Se convirtió en un centro de ciencia, arte y cultura, llegando a ser la capital de Egipto. Tras la muerte de Alejandro, el primer rey, Ptolomeo, un gobernante ilustrado, estableció en Alejandría una escuela e instituto conocido como El Museo. Reclutó a los mejores eruditos de la época para enseñar y trabajar allí. Uno de ellos fue Euclides. Se sabe muy poco sobre Euclides de Alejandría. A partir del material de sus libros, se presume que estudió en la Academia de Platón o con alumnos de dicha Academia. Euclides escribió alrededor de una docena de tratados sobre diversos temas, como óptica, astronomía, música, mecánica y geometría esférica. Desafortunadamente, todos ellos, menos cinco, se han perdido. Su obra más famosa, los Elementos, escrita alrededor del año 300 a. C., se ha conservado, aunque no como manuscrito original escrito por el propio Euclides. Los Elementos de Euclides es matemática pura en el sentido de que la obra no incluye aplicaciones prácticas. Por supuesto, la geometría de Euclides ha tenido una enorme cantidad de aplicaciones a problemas prácticos de ingeniería, arquitectura, astronomía, física, etc., pero ninguna se menciona en los Elementos. Según la leyenda, un estudiante principiante de geometría le preguntó a Euclides: “¿Qué obtendré aprendiendo estas cosas?”. Euclides llamó a su sirviente y le dijo: “Dale una moneda, ya que debe obtener ganancias de lo que aprende”.
La geometría analítica de Descartes y una idea más amplia de las construcciones
Aunque las coordenadas se utilizaban mucho antes de sus trabajos, los historiadores atribuyen a René Descartes y Pierre Fermat el mismo crédito por la invención de la geometría analítica, en la que se utilizan coordenadas numéricas y ecuaciones algebraicas en ellas para obtener resultados geométricos. Descartes fue el primero en publicar sus investigaciones en 1637. Fermat nunca publicó su trabajo; en cambio, comunicó sus resultados en cartas privadas a algunos colegas, y su trabajo no se hizo público hasta 1679, catorce años después de su muerte.
Ambos introdujeron inicialmente sus métodos algebraicos para resolver problemas de la geometría griega clásica, reconociendo el gran potencial que estos nuevos métodos ofrecían para resolver otros problemas. El objetivo declarado de Descartes era proporcionar métodos generales, utilizando el álgebra, para “resolver cualquier problema geométrico”. En la época de Descartes, la tradición consideraba que el álgebra era una disciplina completamente independiente de la geometría. Esta tradición se desvaneció con el trabajo de Viete en el siglo XVI, y tanto Descartes como Fermat se basaron en las ideas de Viete. Descartes definió las cinco operaciones algebraicas: suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces cuadradas como construcciones geométricas sobre segmentos de recta y mostró cómo dichas operaciones podían realizarse en el plano euclidiano mediante construcciones con regla y compás. Por lo tanto, dichas operaciones algebraicas eran una parte legítima de la geometría clásica del plano euclidiano; eran operaciones sobre objetos geométricos, no sobre números.
